19考研数学一真题难点解析：常见问题深度剖析

2020年考研数学一真题中，不少考生反映在选择题和解答题中遇到了一些困惑。本文将结合真题中的典型问题，深入解析考生们普遍关心的问题，并提供详细的解答思路。通过分析这些问题，帮助考生更好地理解知识点，掌握解题技巧，为今后的备考提供参考。

常见问题解答

问题一：关于函数极限的计算

在19考研数学一真题中，有一道关于函数极限的选择题让很多考生感到棘手。题目要求计算极限 lim (x→0) (sinx x)/x2。不少考生在求解过程中遇到了困难，主要原因是对于极限的计算方法掌握不够牢固。

解答：我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。由于直接代入x=0时，分子和分母都趋近于0，符合洛必达法则的使用条件。因此，我们可以对分子和分母分别求导，得到新的极限表达式。求导后，分子变为cosx 1，分母变为2x。再次代入x=0，发现仍然是一个不定式，因此需要再次使用洛必达法则。求导后，分子变为-sinx，分母变为2。此时，代入x=0，得到极限值为 -1/2。

除了洛必达法则，我们还可以使用泰勒展开式来求解这个极限。将sinx和x分别展开到x2的项，可以得到sinx x ≈ -x3/6。因此，原极限可以简化为 lim (x→0) (-x3/6)/x2 = lim (x→0) -x/6 = 0。两种方法都可以得到正确答案，但洛必达法则更适用于复杂的极限计算。

问题二：关于微分方程的求解

另一道让考生头疼的问题是关于微分方程的解答题。题目要求求解微分方程 y' + y = x2。不少考生在求解过程中遇到了困难，主要原因是对于微分方程的求解方法掌握不够牢固。

解答：这是一道一阶线性微分方程，可以使用积分因子法来求解。将微分方程变形为标准形式 y' + y = x2。然后，找到积分因子 μ(x) = e∫1dx = ex。将积分因子乘以微分方程的两边，得到 ex y' + ex y = x2 ex。左边可以写成 (ex y)'，因此原方程可以写成 (ex y)' = x2 ex。对两边积分，得到 ex y = ∫x2 ex dx。

接下来，使用分部积分法求解右边的积分。设 u = x2，dv = ex dx，则 du = 2x dx，v = ex。根据分部积分公式 ∫u dv = uv ∫v du，可以得到 ∫x2 ex dx = x2 ex ∫2x ex dx。继续使用分部积分法求解 ∫2x ex dx，设 u = 2x，dv = ex dx，则 du = 2 dx，v = ex。可以得到 ∫2x ex dx = 2x ex ∫2 ex dx = 2x ex 2ex。

将结果代回原方程，得到 ex y = x2 ex (2x ex 2ex) + C。两边同时除以ex，得到 y = x2 2x + 2 + Ce(-x)。这就是原微分方程的通解。

问题三：关于矩阵的特征值和特征向量

最后一道常见问题是关于矩阵的特征值和特征向量。题目要求求矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]] 的特征值和特征向量。不少考生在求解过程中遇到了困难，主要原因是对于特征值和特征向量的概念理解不够清晰。

解答：我们需要求出矩阵 A 的特征多项式。特征多项式定义为 det(A λI)，其中 λ 是特征值，I 是单位矩阵。对于矩阵 A，特征多项式为 det([[1-λ, 2], [3, 4-λ]]) = (1-λ)(4-λ) 6 = λ2 5λ 2。将特征多项式设为0，解方程 λ2 5λ 2 = 0，可以得到特征值 λ? = 5 + √17，λ? = 5 √17。

接下来，我们需要求出对应的特征向量。对于特征值 λ? = 5 + √17，将 A λ?I = [[1-(5+√17), 2], [3, 4-(5+√17)]] 化简为 [[-4-√17, 2], [3, -1-√17]]，然后解齐次线性方程组 (-4-√17)x + 2y = 0，3x + (-1-√17)y = 0。可以得到特征向量为 v? = [1, 2 + √17]。

对于特征值 λ? = 5 √17，将 A λ?I = [[1-(5-√17), 2], [3, 4-(5-√17)]] 化简为 [[-4+√17, 2], [3, -1+√17]]，然后解齐次线性方程组 (-4+√17)x + 2y = 0，3x + (-1+√17)y = 0。可以得到特征向量为 v? = [1, 2 √17]。

通过以上步骤，我们求出了矩阵 A 的特征值和特征向量。这些知识点在考研数学一中非常重要，考生需要认真掌握。