考研数学1800重点题数二解题难点剖析与突破

考研数学1800重点题数二涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心考点，是考生备考过程中不可或缺的练习材料。这些题目不仅难度适中，而且贴近真题风格，能够有效帮助考生检验学习成果、查漏补缺。然而，不少考生在刷题过程中会遇到各种各样的问题，比如概念理解不透彻、解题思路卡壳、计算错误频发等。本文将针对数量3-5个数二常见问题进行深入剖析，并提供详细的解题步骤和易错点提示，帮助考生扫清障碍，提升应试能力。

问题1：定积分的应用题如何快速找到积分表达式？

定积分在考研数学中应用广泛，尤其是在几何和物理问题中。很多考生在解决这类问题时，往往难以快速准确地写出积分表达式。究其原因，主要在于对定积分的微元法理解不够深入，或者对题目中的几何关系、物理规律把握不清。下面以一个典型问题为例，详细讲解如何突破这一难点。

【例题】已知曲线y=lnx与直线y=x-2相交于A、B两点，求这两点间曲线与直线所围成的平面图形的面积。

【解答】我们需要确定交点A和B的坐标。联立方程组：

1. y=lnx
2. y=x-2

代入得到lnx=x-2，解得x=1（舍去x=0），此时y=-1，所以A(1,-1)。同理可得B(2,0)。

接下来，我们选择合适的积分变量。由于曲线与直线在x=1到x=2之间围成的区域，因此选择x作为积分变量更为方便。积分的上限为2，下限为1。

根据微元法，任意小区间[x,x+dx]上的面积微元为：

S(x)=[(x-2)-(lnx)]dx

因此，总面积S为：

S=∫₁²[(x-2)-(lnx)]dx

这个积分表达式可以通过基本积分公式直接计算，结果为1-2ln2。这就是所求的平面图形面积。

【易错点提示】

1. 交点坐标求解错误：部分考生在联立方程组时，可能会忽略x=0这个解，导致遗漏交点A。

2. 积分变量选择不当：如果选择y作为积分变量，需要将区域分成两部分，计算过程会相对复杂。

3. 积分表达式写错：在写出面积微元时，容易将直线方程与曲线方程的位置写反，导致积分结果符号错误。

问题2：级数敛散性的判别如何灵活运用各种方法？

级数敛散性是考研数学中的重点难点，需要考生熟练掌握多种判别方法，并能根据不同题型灵活选用。常见的判别方法包括正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，以及交错级数的莱布尼茨判别法等。然而，很多考生在解题时往往只会套用单一方法，导致计算繁琐或无法判断。

【例题】判断级数∑_n=1^∞(n+1)sin(1/n)的敛散性。

【解答】首先观察通项a_n=(n+1)sin(1/n)，当n→∞时，sin(1/n)≈1/n，因此a_n≈n/n=1。这提示我们该级数可能发散，因为其通项不趋于0。下面我们用比值判别法进行严格证明。

计算比值极限：

lim_n→∞a_n+1/a_n=lim_n→∞[(n+2)sin(1/(n+1))/((n+1)sin(1/n))]

由于sin(1/(n+1))≈1/(n+1)，sin(1/n)≈1/n，代入得到：

lim_n→∞[(n+2)/(n+1)]·[(1/(n+1))/(1/n)]=lim_n→∞

比值判别法失效，需要尝试其他方法。考虑到sin(1/n)与1/n等价，我们可以用比较判别法：

由于lim_n→∞(n+1)sin(1/n)/(1/n)=lim_n→∞(n+1)·(1/n)=1，且级数∑(1/n)是调和级数，发散。

因此，原级数发散。

【易错点提示】

1. 忽略通项趋于0的必要条件：部分考生在看到sin(1/n)时，会误认为a_n趋于0，从而错误地使用比值判别法。

2. 比值判别法直接得出结论：当比值极限为1时，比值判别法无法判断敛散性，需要结合其他方法。

3. 比较对象选择不当：在使用比较判别法时，需要选择与a_n等价或更容易判别的级数作为比较对象，否则可能导致计算错误。

问题3：微分方程的求解如何根据类型选择合适的方法？

微分方程是考研数学中的另一大难点，需要考生掌握多种求解方法，包括可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程、伯努利方程以及高阶微分方程等。很多考生在解题时，往往不知道如何判断方程类型，或者选择了错误的方法，导致解题过程复杂甚至无法求解。

【例题】求解微分方程y'-(2x+1)y=xlnx。

【解答】首先观察方程y'-(2x+1)y=xlnx，可以看出它是一阶线性非齐次微分方程。标准形式为y'+P(x)y=Q(x)，其中P(x)=-2x-1，Q(x)=xlnx。

求解对应齐次方程y'-2xy=0，分离变量得到：

dy/y=2xdx，积分得到lny=x²+C，即y=Ce^x2。

用常数变易法，设y=ue^x2，代入原方程得到：

u'e^x2-(2x+1)ue^x2+2xue^x2=xlnx

化简得到u'=lnx，积分得到u=xlnx-x+C。

因此，通解为y=(xlnx-x+C)e^x2。

【易错点提示】

1. 方程类型判断错误：部分考生可能会将一阶线性方程误认为可分离变量方程，导致无法写出正确的积分因子。

2. 积分因子计算错误：在求解一阶线性方程时，积分因子e^∫P(x)dx容易计算错误，特别是当P(x)含有负号或复杂项时。

3. 非齐次方程通解写法错误：通解应包含齐次方程的通解和非齐次方程的特解，部分考生可能会遗漏非齐次项，导致解不完整。