张宇考研数学25版36讲核心知识点疑难突破

考研数学备考中，张宇老师的25版36讲因其系统性和实战性备受考生青睐。然而，不少同学在学习过程中会遇到理解偏差、解题思路卡壳等问题。本栏目精选了36讲中的常见难点，结合张宇老师的教学精髓，以问答形式逐一解析，帮助考生扫清障碍，夯实基础。内容覆盖高数、线代、概率三大模块，注重概念辨析与解题技巧的双重提升，适合所有正在冲刺考研的学子参考。

问题1：定积分中“换元法”使用时如何正确选择三角代换？

定积分的换元法是考研中的高频考点，但很多同学在三角代换的选择上容易混淆。张宇老师在36讲中提到，三角代换的关键在于匹配被积函数中的根式形式。比如，当遇到√(a2-x2)时，通常采用x=asinθ；遇到√(a2+x2)时，则选x=atanθ；而√(x2-a2)则对应x=asecθ。不过，具体选择还需结合积分区间灵活调整，比如当区间为[0,a]时，asinθ的取值范围更易处理。换元后别忘了同时变换积分上下限，并检查新变量是否满足积分条件。张宇老师还强调，三角代换并非万能，有时直接凑微分或分部积分更简便，需根据题目特点综合判断。

问题2：泰勒公式在证明不等式时如何巧妙应用？

泰勒公式是证明函数不等式的利器，但不少同学对其使用场景把握不准。张宇老师在36讲中通过多个实例讲解了泰勒展开的技巧：要明确展开的阶数，一般二阶或三阶展开足够应对考研题；展开点需靠近不等式中的关键点，比如在x=0处展开适用于x较小的情况。特别值得注意的是，泰勒公式中的余项处理——当用Pn(x)代替f(x)时，要确保余项Rn(x)足够小，这通常需要借助极限证明或放缩技巧。张宇老师还举了这样一个例子：证明ex>1+x+x2/2时，可在x=0处展开ex，通过估算余项证明不等式成立。泰勒公式与拉格朗日中值定理结合使用时，能更全面地分析函数性态，这是命题人常考的技巧点。

问题3：空间向量中“混合积”的几何意义如何理解和应用？

空间向量中的混合积（[向量a, 向量b, 向量c]）是考研线代部分的重点，但很多同学对其几何意义理解不深。张宇老师在36讲中用“体积说”形象解释了混合积：混合积的绝对值等于以三个向量为棱的平行六面体的体积。这个解释既直观又实用，比如在判断三个向量是否共面时，若混合积为0，则它们线性相关。更妙的是，混合积还可以转化为二重向量积计算，即[向量a, 向量b, 向量c]=向量a·(向量b×向量c)，这个转化在计算过程中能简化运算。张宇老师还分享了混合积在证明向量恒等式中的应用技巧：通过构造几何模型，将抽象的向量关系转化为可量化的体积问题。例如，证明(向量a×向量b)·向量c=向量a·(向量b×向量c)时，可考虑将向量视为空间中的三条棱，通过平行六面体体积的不变性证明等式成立。这种几何化思维是张宇老师解题的精髓所在。