考研数学《基础过关660题》常见难点精解

《基础过关660题》是考研数学备考中的经典习题集，涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大模块，题目难度适中，适合基础阶段巩固。许多考生在练习过程中会遇到概念理解不深、解题思路卡壳等问题。本栏目精选660题中的重点难点，以百科网特有的解析风格，结合典型例题，手把手带你突破重难点。每道题的解答不仅给出标准答案，更注重知识点的梳理和方法的总结，帮你从根源上解决数学学习中的痛点。

问题1：如何有效掌握高等数学中的“不定积分”计算技巧？

不定积分是考研数学中的高频考点，也是很多同学的薄弱环节。它不仅考察基本积分公式，还涉及换元积分、分部积分等复杂技巧。下面以一道典型例题为例，讲解不定积分的解题思路。

例题：计算∫(x2 sin x)dx。

解答：这道题适合用分部积分法。分部积分公式为∫u dv = uv ∫v du。我们选择u = x2（因为x2的导数较简单），dv = sin x dx（因为sin x的原函数容易求）。接着求导和积分：u' = 2x，v = -cos x。代入公式得：

∫(x2 sin x)dx = -x2 cos x ∫(-cos x 2x)dx = -x2 cos x + 2∫(x cos x)dx。

现在需要计算∫(x cos x)dx，再次使用分部积分，这次选择u = x，dv = cos x dx。求导积分后得到：

∫(x cos x)dx = x sin x ∫(sin x)dx = x sin x + cos x。

将结果代回原式：∫(x2 sin x)dx = -x2 cos x + 2(x sin x + cos x) + C。

总结技巧：遇到幂函数乘以三角函数时，优先考虑分部积分；注意符号变化和常数项C的添加；熟练掌握常见函数的原函数是快速解题的关键。

问题2：线性代数中“特征值与特征向量”如何系统掌握？

特征值与特征向量是线性代数的核心概念，常出现在选择题和解答题中。不少同学对抽象概念理解困难，解题时容易混淆定义。下面通过实例解析其本质联系。

例题：已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求其特征值和特征向量。

解答：首先求特征多项式f(λ) = det(A λE) = (1-λ)(4-λ) 6 = λ2 5λ 2。解方程λ2 5λ 2 = 0，得到特征值λ1 = 5 + √17，λ2 = 5 √17。

接着求对应特征向量。以λ1为例，解方程组(A λ1E)x = 0，即[[1-λ1, 2], [3, 4-λ1]][x1, x2]T = [0, 0]T。代入λ1的值，化简后得到方程2x1 + (4-λ1)x2 = 0，即x1 = (-1+√17)/2 x2。

取x2 = 1，则特征向量为v1 = [(-1+√17)/2, 1]T。类似方法可求出v2 = [(-1-√17)/2, 1]T。

要点总结：特征值是方程f(λ) = 0的根，特征向量是齐次方程(A λE)x = 0的非零解；不同特征值对应的特征向量线性无关；实对称矩阵可对角化；计算时注意矩阵运算顺序和符号变化。

问题3：概率论中“大数定律”与“中心极限定理”如何区分应用？

大数定律和中心极限定理是概率论中的两大基石，但很多考生分不清适用场景和结论差异。本例通过实际应用场景帮助理解这两个重要定理。

例题：某车间生产某种零件，次品率p=0.05，现随机抽取n=1000件检验，问次品件数X的期望和近似分布。

解答：首先计算X的期望EX = np = 1000 0.05 = 50，方差DX = np(1-p) = 1000 0.05 0.95 = 47.5。次品件数X服从二项分布B(1000, 0.05)。

（1）大数定律应用：根据切比雪夫大数定律，当n足够大时，次品率频率(ξn = X/n)依概率收敛于p=0.05。这意味着检验的次品比例会稳定在5%左右，这是统计推断的基础。

（2）中心极限定理应用：由中心极限定理，当n=1000足够大时，随机变量X近似服从正态分布N(50, 47.5)。若要计算次品件数在40-60之间的概率，可标准化处理：

P(40≤X≤60)≈P(40-50)/√47.5≤Z≤60-50)/√47.5) = P(-1.15≤Z≤1.15) ≈ 0.874。

关键区别：大数定律关注频率稳定性（几乎必然），中心极限定理关注分布近似（渐近正态）。大数定律适用于任何分布，只要方差有限；中心极限定理要求样本量足够大（一般n≥30），且原分布有一定偏度。记住这两个定理的条件和结论差异，是正确应用的前提。