考研数学二高频考点深度解析：突破练习册难题的关键技巧
在考研数学二的备考过程中，许多考生发现练习册中的某些题目难度较大，难以独立完成。这些题目往往涉及多个知识点的综合运用，需要考生具备扎实的理论基础和灵活的解题思路。为了帮助大家攻克这些难点，我们整理了几个典型的练习册问题，并提供了详细的解答思路。这些问题不仅覆盖了考研数学二的核心考点，还体现了真题的出题风格，非常适合考生作为复习参考。
问题一：函数零点与微分中值定理的综合应用
已知函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且满足f(0)=0，f(1)=1。证明：存在唯一的x0∈(0,1)，使得f(x0)=x0。
解答：
我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-x。由于f(x)在[0,1]上连续，根据连续函数的性质，g(x)在[0,1]上也连续。接下来，我们计算g(0)和g(1)的值：
g(0)=f(0)-0=0，
g(1)=f(1)-1=0。
由此可见，g(0)=g(1)=0。根据罗尔定理，在区间(0,1)内至少存在一个点x0，使得g'(x0)=0。由于g(x)=f(x)-x，我们有：
g'(x)=f'(x)-1。
因此，g'(x0)=f'(x0)-1=0，即f'(x0)=1。这说明在(0,1)内存在至少一个点x0，使得f(x0)=x0。
接下来，我们证明x0的唯一性。假设存在另一个点x1∈(0,1)，使得f(x1)=x1，且x1≠x0。同样地，我们定义g(x)=f(x)-x，那么g(x1)=0。由于g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，根据罗尔定理，在(x0,x1)或(x1,x0)之间必存在一个点x2，使得g'(x2)=0。但是，我们已经知道f'(x0)=1，f'(x1)=1，这与g'(x2)=0矛盾。因此，假设不成立，x0是唯一的。
综上所述，存在唯一的x0∈(0,1)，使得f(x0)=x0。
问题二：定积分与微分方程的结合问题
已知函数y=f(x)满足微分方程y''-3y'-4y=0，且满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1。求∫01f(x)dx的值。
解答：
我们解这个二阶常系数齐次微分方程。写出对应的特征方程：
r2-3r-4=0。
解这个二次方程，得到特征根：
r1=-1，r2=4。
因此，微分方程的通解为：
y=C1e{-x