考研数学公式宝典：常见考点深度解析

考研数学的公式是考生必须掌握的核心内容，它们不仅是解题的基础，更是理解数学概念的关键。本汇总涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的高频公式，并结合常见问题进行深度解析。通过系统梳理和针对性答疑，帮助考生突破记忆难点，提升解题能力。无论是基础薄弱还是追求高分，这份资料都能为你提供清晰的复习路径和实用的应试技巧。

重要公式汇总与常见问题解答

问题1：定积分换元法中，积分限如何调整？

定积分换元法是考研数学中的高频考点，很多同学在变换积分变量时容易混淆积分限的调整。以三角函数换元为例，当使用 sin x 和 cos x 换元时，需要特别注意正负号和区间范围。比如计算 ∫₀¹ √(1-x²)dx 时，若令 x = sin θ，则 dx = cos θ dθ，积分限从 0 变为 π/2。此时原积分变为 ∫₀^π/2 cos² θ dθ。关键点在于：

换元后要重新确定积分变量对应的上下限

确保新变量的取值范围与原变量一致

若变量平方出现，需考虑绝对值处理

。换元后若出现分母，通常需要通过倒代换简化计算。例如 ∫₁² dx/(x√(x²-1))，令 x = csc θ，则 dx = -cot θ cos θ dθ，积分限从 0 变为 π/6，原积分可转化为三角函数积分。这种技巧在处理反三角函数积分时尤为有效。

问题2：级数敛散性判别中，比值判别法与根值判别法的适用场景有何区别？

比值判别法（达朗贝尔判别法）和根值判别法（柯西判别法）是判断正项级数敛散性的两大工具，但它们的适用范围存在明显差异。比值判别法主要适用于分母中含有阶乘或连乘形式的级数，如 ∑_n=1^∞ n!² / n¹⁰⁰。计算 lim _n→∞ a_n+1/a_n 时，若极限为 L，则当 L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 时不确定。而根值判别法则更适用于幂级数或包含指数项的级数，如 ∑_n=1^∞ (n+1)¹⁰⁰ /2ⁿ。计算 lim _n→∞ √[n] a_n 时，若极限为 L，则当 L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 时不确定。两者的关键区别在于：

比值法需要考虑相邻项的比值变化，适合处理可约分的表达式

根值法通过开方直接处理绝对值，适用于指数形式或乘积结构

。特别地，当级数通项包含 n 次方形式时，根值判别法通常更高效。例如 ∑_n=1^∞ (2n+1)³ / n⁴，采用根值法计算 lim _n→∞ √[n] a_n = lim _n→∞ (2n+1)/n = 2，而比值法需要计算 lim _n→∞ [(2n+2)³/(n+1)⁴ × n⁴/(2n+1)³] = 8，两者结果一致但计算复杂度差异明显。当通项包含三角函数时，如 sin(ln n)，根值法能直接处理绝对值，而比值法可能需要更复杂的放缩技巧。

问题3：矩阵的秩与向量组秩的关系如何通过初等行变换确定？

矩阵的秩是考研线性代数中的核心概念，它与向量组的秩密切相关，通过初等行变换确定两者关系是常见考点。以求解齐次线性方程组 AX = 0 的基础解系为例，首先将系数矩阵 A 化为行阶梯形矩阵 B。例如给定 A = [[1,2,3],[2,4,6],[1,3,5]]，通过初等行变换可得 B = [[1,2,3],[0,0,0],[0,0,0]]。此时非零行数为 1，即矩阵的秩 r(A) = 1。根据矩阵秩的定义，r(A) = r(A)，即向量组 {a₁, a₂, a₃