考研真题数学极限常见考点深度解析

在考研数学的备考过程中，极限问题是考生们普遍感到棘手的部分。它不仅是后续微积分学习的基础，也是考察考生逻辑思维和计算能力的重要环节。历年真题中，极限的考察形式多样，既有基本概念的计算，也有综合性较强的证明题。本文将结合历年真题，深入剖析几个典型的极限问题，帮助考生掌握解题思路和技巧。通过对这些问题的详细解析，考生可以更好地理解极限的本质，提升应对复杂问题的能力。

问题一：求极限 lim (x→0) (sin x x) / (x3)

这个问题是考研真题中常见的“0/0”型极限问题。解决这类问题的关键在于利用等价无穷小替换或者洛必达法则。我们可以尝试使用等价无穷小替换，因为当x→0时，sin x ≈ x x3/6。将这个近似代入原式，可以得到：

lim (x→0) (sin x x) / (x3) ≈ lim (x→0) ((x x3/6) x) / (x3) = lim (x→0) (-x3/6) / (x3) = -1/6。

当然，也可以使用洛必达法则。由于原式是“0/0”型，可以对分子和分母同时求导：

lim (x→0) (sin x x) / (x3) = lim (x→0) (cos x 1) / (3x2)。

继续应用洛必达法则，得到：

lim (x→0) (cos x 1) / (3x2) = lim (x→0) (-sin x) / (6x) = -1/6。

两种方法都得到了相同的结果，说明-1/6是正确的答案。这个问题的难点在于考生需要灵活运用不同的方法，选择最适合自己的解题路径。

lim (x→∞) (x2 + ax + b) / (x3 + cx2 + d) = lim (x→∞) (1/x + a/x2 + b/x3) / (1 + c/x + d/x3)。

当x→∞时，1/x、a/x2、b/x3都趋近于0，因此原式可以简化为：

lim (x→∞) (1/x + a/x2 + b/x3) / (1 + c/x + d/x3) = 0。

这个结果表明，随着x的无限增大，原式的值无限接近于0。这个问题的关键在于考生需要掌握最高次项提取的方法，这样才能快速简化复杂的极限表达式。

问题三：求极限 lim (x→1) [(x-1) / (x2 1)] [sin(πx)]

这个问题涉及到三角函数和分式的组合，需要考生综合运用多种知识。我们可以对分式部分进行简化：

(x-1) / (x2 1) = (x-1) / (x-1)(x+1) = 1/(x+1)。

lim (x→1) [1/(x+1)] [sin(πx)] = lim (x→1) sin(πx) / (x+1)。

当x→1时，sin(πx)可以看作是sin(π)的连续函数，而sin(π)等于0。因此，原式是“0/0”型极限，可以应用洛必达法则：

lim (x→1) sin(πx) / (x+1) = lim (x→1) (πcos(πx)) / 1 = πcos(π) = -π。

这个结果表明，随着x无限接近1，原式的值无限接近-π。这个问题的难点在于考生需要灵活运用三角函数的性质和洛必达法则，才能准确计算出极限值。