张宇考研数二1000题难点精解：常见陷阱与高分技巧

考研数学二张宇1000题是备考过程中不可或缺的练习材料，但不少考生在刷题时容易陷入误区。本文精选了3-5个高频问题，结合张宇老师的解题思路，深入剖析易错点，并提供详尽解答。无论你是基础薄弱还是追求高分，这些内容都能帮你突破瓶颈，高效提升。下面我们来看具体问题的解答。

问题一：定积分的应用——旋转体体积计算常见错误

不少同学在计算旋转体体积时，容易混淆圆盘法和洗脱法的选择，导致公式使用错误。例如，对于曲线y=sinx在[0,π]上绕x轴旋转形成的体积，部分考生错误地套用洗脱法，忽略了对积分区间的分段处理。

正确解法是：首先明确旋转体是由y=sinx从x=0到x=π形成的，绕x轴旋转。此时应采用圆盘法，因为函数y=sinx在[0,π]上始终非负，且没有交叉点。积分公式为V=π∫₀^π[sin(x)]2dx。通过三角恒等变换sin2x=1/2(1-cos(2x))，化简后积分变为π∫₀^π1/2(1-cos(2x))dx，最终得到体积V=π2/2。若误用洗脱法，需将区间拆分为[0,π/2]和[π/2,π]，分别计算后相减，过程繁琐且易出错。

问题二：级数敛散性判别中的“比较法”误区

在判别级数∑(n=1→∞)u_n的敛散性时，很多考生对比较法的使用存在认知偏差。例如，对于u_n=1/(nlnn)，部分同学试图与p-级数1/np比较，却忽略了lnn的增长速度远慢于n的幂次方。

正确思路是：首先观察u_n的形式，发现其分母包含lnn，适合用积分判别法。计算不定积分∫[1,∞]1/(xlnx)dx，通过换元t=lnx转化为∫[0,∞]1/tdt，该积分发散，因此原级数发散。若强行用比较法，需找到合适的参照级数，如1/(nlnn)与1/n(1+ε)比较，但需确保ε>0且ε充分小，这里lnn的增长比任何nε慢，所以级数发散。关键在于理解lnn的“慢增长”特性，避免与p-级数直接类比。

问题三：多元函数极值求解中的“二阶偏导检验”遗漏

求解f(x,y)=x3+y3-3axy的极值时，部分考生仅通过?f=0得到驻点(x,y)=(0,0)和(1,1)，便直接断定(1,1)为最大值点，忽略了二阶偏导检验的必要性。

完整解法如下：首先求一阶偏导f_x=3x2-3ay，f_y=3y2-3ax，解?f=0得驻点(0,0)和(1,1)。接着计算二阶偏导f_xx=6x，f_yy=6y，f_xy=-3a。在(0,0)点，A=0，B=-3a，C=0，Δ=B2-AC=9a2>0（a≠0），故为鞍点。在(1,1)点，A=6，B=-3a，C=6，Δ=9a2-36。当a2<4时，Δ<0且A>0，为极大值点；当a2>4时，Δ>0且B>0，为极小值点；当a2=4时需进一步检验。特别地，当a=±2时，可验证(1,1)仍是极值点，但需结合边界条件确认最值。