考研数学选择题：张雪峰高频考点深度解析

考研数学选择题是考生得分的关键，而张雪峰老师的解析方法因其直击要害、通俗易懂而备受推崇。本文精选3-5道典型选择题，结合张雪峰老师的解题思路，深入剖析易错点和解题技巧，帮助考生在有限时间内高效突破难点。以下问题均附详细答案，且答案字数充足，力求让每位考生都能举一反三，全面提升选择题得分能力。

问题一：函数连续性与可导性的关系选择题

在考研数学中，函数的连续性和可导性是高频考点。张雪峰老师特别强调，考生需牢记“可导必连续，连续不一定可导”这一核心结论。以下是一道典型例题：

例题：设函数f(x)在x=0处可导，且lim(x→0) (f(x)-f(0))/x=1，则f(x)在x=0处是否连续？

答案：f(x)在x=0处连续。根据题意，已知f(x)在x=0处可导，根据可导的定义，lim(x→0) (f(x)-f(0))/x=f'(0)=1。由此可得，当x→0时，f(x)-f(0)≈x，即f(x)≈f(0)+x。因此，lim(x→0) f(x)=f(0)，满足连续性的定义。张雪峰老师特别提醒，考生在解题时需注意区分可导与连续的关系，避免因混淆概念而失分。他还建议考生通过绘制函数图像辅助理解，例如y=x或y=x2+1这类典型函数，能够直观体现可导与连续的内在联系。

问题二：定积分计算技巧选择题

定积分计算是考研数学选择题的另一大难点。张雪峰老师指出，考生在处理定积分问题时，需灵活运用换元法、分部积分法等技巧。以下是张雪峰老师常考的一种题型：

例题：计算定积分∫[0,π] (sinx+cosx)/√(1+sin2x) dx的值。

答案：利用对称性简化积分区间。由于sinx和cosx在[0,π]区间上具有周期性，可以将原积分转化为∫[0,π/2] 2dx=π。这一结论基于张雪峰老师总结的“奇函数乘偶函数积分为0，周期函数在完整周期上积分为常数”这一规律。具体到本题，原积分可拆分为∫[0,π] sinx/√(1+sin2x) dx + ∫[0,π] cosx/√(1+sin2x) dx。前半部分积分通过换元u=sinx，后半部分积分通过换元u=cosx，均可转化为标准积分形式。张雪峰老师特别强调，考生在解题时需注意积分区间的对称性，避免盲目计算导致复杂化。他还建议考生熟记常见积分公式，如∫dx/√(a2-x2)、∫dx/(a2+x2)等，这些公式往往是简化计算的关键。

问题三：级数收敛性判断选择题

级数收敛性是考研数学选择题中的常客。张雪峰老师建议考生掌握比值判别法、根值判别法等常用方法。以下是一道典型例题：

例题：判断级数∑[n=1 to ∞] (n2+1)/(2n+n3)的收敛性。

答案：本题可采用比值判别法。计算lim(n→∞) a_(n+1)/a_n，其中a_n=(n2+1)/(2n+n3)。经计算可得，该极限值为1/2。根据比值判别法，当该极限值小于1时，级数收敛。张雪峰老师指出，在处理此类问题时，考生需注意观察分子分母的最高次项，例如本题中2n和n3是主导项，因此可直接判断收敛性。他还建议考生通过比较级数的方法辅助判断，例如将原级数与1/2n进行比较，由于后者显然收敛，且原级数每一项不大于后者对应项，因此原级数也收敛。这种“放缩法”是张雪峰老师常用的解题技巧，能够帮助考生快速锁定正确答案。