考研数学基础习题精选：助你轻松入门

考研数学作为众多考生的“拦路虎”，其基础阶段的习题选择至关重要。一份优质的习题集不仅能帮你巩固知识点，还能培养解题思维。本文精选了3-5道基础常见问题，并附上详细解答，让你在轻松的氛围中掌握核心考点。无论你是零基础小白，还是希望通过刷题提升自己，这些内容都能为你提供切实帮助。

习题推荐与解答

问题一：函数极限的计算

题目：计算极限 lim (x→2) (x2 4) / (x 2)。

解答：这道题看似简单，但很多同学容易直接代入分母为0而卡住。正确做法是先对分子进行因式分解：

lim (x→2) (x2 4) / (x 2) = lim (x→2) [(x 2)(x + 2)] / (x 2)

由于x→2时分母不为0，可以约去(x 2)，得到：

lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4

这种约分的前提是分母不能为0，因此一定要检查极限点是否使分母为0。如果直接代入发现分母为0，就要考虑其他方法如洛必达法则或泰勒展开。

问题二：连续性与可导性判断

题目：判断函数f(x) = x在x=0处是否连续且可导。

解答：首先判断连续性。函数在x=0处连续需要满足三个条件：

1. f(0)存在，显然f(0)=0

2. lim (x→0) f(x)存在

3. 极限值等于函数值，即lim (x→0) f(x) = f(0)

计算左极限：lim (x→0-) x = lim (x→0-) -x = 0

计算右极限：lim (x→0+) x = lim (x→0+) x = 0

左右极限相等，所以极限存在且为0，等于f(0)，因此函数在x=0处连续。

接下来判断可导性。可导需要左右导数存在且相等：

左导数：lim (h→0-) (0+h 0) / h = lim (h→0-) -h / h = -1

右导数：lim (h→0+) (0+h 0) / h = lim (h→0+) h / h = 1

左右导数不相等，所以函数在x=0处不可导。这个例子说明连续不一定可导，尖点处的绝对值函数就是典型例子。

问题三：定积分计算技巧

题目：计算定积分 ∫[0,π] sin2x dx。

解答：这道题考察了三角函数积分的常用技巧。首先利用二倍角公式降次：

sin2x = (1 cos2x) / 2

所以原积分变为：

∫[0,π] sin2x dx = ∫[0,π] (1 cos2x) / 2 dx

拆分成两个简单积分：

= (1/2)∫[0,π] 1 dx (1/2)∫[0,π] cos2x dx

第一个积分：= (1/2) [x]_[0,π] = (1/2) (π 0) = π/2

第二个积分：令u=2x，则du=2dx，dx=du/2，积分限变为0到π对应0到2π

= (1/2) ∫[0,2π] cosu (du/2) = (1/4) ∫[0,2π] cosu du

= (1/4) [sinu]_[0,2π] = (1/4) (sin2π sin0) = 0

所以原积分结果为 π/2 0 = π/2

这个例子展示了定积分计算中常见的换元技巧，特别是三角函数的周期性特点要灵活运用。