2015年考研数学二真题重点难点解析及常见问题剖析

2015年的考研数学二真题在考察范围和难度上都有一定的特点，不少考生在作答时遇到了一些困惑。本文将结合真题中的重点题目，针对考生普遍关心的问题进行详细解答，帮助大家更好地理解考点和解题思路。内容涵盖了高数、线代和概率统计等多个部分，力求解答清晰、实用，适合考生复习时参考。

常见问题解答

问题1：2015年真题中高数部分的积分题难点在哪里？如何突破？

2015年数学二真题中高数部分的积分题主要考察了定积分的计算技巧和综合应用能力。不少考生反映在解决含参变量的积分问题时感到吃力，特别是涉及到分段函数和绝对值函数的积分。这类题目难点主要在于：

需要准确处理积分区间和被积函数的分段点

对绝对值函数的处理不够熟练

变量代换时忽略边界条件的调整

要突破这些难点，首先建议考生系统复习定积分的基本性质和计算方法，特别是针对分段函数和绝对值函数的积分技巧。可以通过大量练习熟悉常见题型，比如含参变量积分、反常积分等。在做题时要养成画图分析的习惯，通过图像直观地理解积分区间和被积函数的特点。下面以真题中的一道典型积分题为例进行解析：

题目：计算定积分I=∫₀¹（x2-1）x-1dx的值。

解答：我们需要处理绝对值函数，将积分区间[0,1]分成[0,1]和[1,2]两部分。注意到原函数在x=1处不连续，所以需要分段积分。具体步骤如下：

1. 拆分绝对值函数：x-1在[0,1]上等于1-x，在[1,2]上等于x-1。因此原积分可以拆分为I=∫₀¹(x2-1)(1-x)dx+∫₁²(x2-1)(x-1)dx。

2. 分别计算两个积分：第一个积分=∫₀¹(x3-x2-x+x)dx=∫₀¹(x3-x2-x)dx，第二个积分=∫₁²(x3-x2-x+x)dx=∫₁²(x3-x2-x)dx。

3. 计算结果：两个积分的结果分别为[-1/4x4+1/3x3-x2]从0到1和[-1/4x4+1/3x3-x2]从1到2，相加后得到最终结果为-1/12。这个题目考察了考生对绝对值函数处理的能力，以及定积分的基本计算技巧。通过这样的练习，考生可以逐步提高解决复杂积分问题的能力。

问题2：线代部分的特征值和特征向量题目如何正确求解？

线代部分的特征值和特征向量是数学二的常考点，但很多考生在解题时容易出错。常见错误包括：

对特征值和特征向量的定义理解不清

计算特征多项式时出现符号错误

求解特征向量时忽略特征值的非零性

要正确求解这类题目，首先需要掌握特征值和特征向量的基本概念：特征值是使矩阵方程Ax=λx有非零解的λ值，特征向量则是对应的非零解向量。解题步骤通常包括：

写出特征方程det(A-λI)=0

求解特征值

代入特征值求解特征向量

下面以真题中的一道特征值题目为例：

题目：已知矩阵A=???1 2 1 0 2 1 0 2 1???，求A的特征值。

解答：我们需要写出特征方程det(A-λI)=0。具体步骤如下：

1. 构造矩阵A-λI：A-λI=???1-λ 2 1 0 2-λ 1 0 2-λ 1???。

2. 计算行列式：det(A-λI)=[(1-λ)(2-λ)×1]-[2(2-λ)×1]+[1(2-λ)×1]=λ3-4λ2+5λ-2。

3. 求解特征值：解方程λ3-4λ2+5λ-2=0，得到特征值λ1=1，λ2=1+√2，λ3=1-√2。

这个题目考察了考生对矩阵特征值计算的基本功。在计算行列式时容易出错，建议考生多加练习，熟练掌握行列式的计算方法。对于含有参数的矩阵特征值问题，还需要注意讨论参数取值对特征值的影响。