张宇高数课堂：常见难点深度解析与突破

在考研高数的学习过程中，很多同学会遇到各种各样的难点和困惑。张宇老师凭借其深厚的教学功底和独特的授课风格，帮助无数考生攻克了高数难关。本栏目精选了张宇老师课堂上同学们最常提出的问题，并进行系统性的解答，旨在帮助大家更深入地理解高数知识，掌握解题技巧。无论你是基础薄弱还是希望拔高，都能在这里找到适合自己的学习方案。

问题一：定积分的换元法与分部积分法如何灵活运用？

定积分的换元法和分部积分法是考研高数中的重点和难点，很多同学在解题时常常感到无从下手。张宇老师认为，这两种方法的核心在于对积分形式的灵活变形和对积分边界的巧妙处理。换元法的关键在于选择合适的代换变量，使得积分形式简化，同时注意代换后积分上下限的对应变化。例如，在计算形如∫x2√(1-x2)dx的积分时，可以令x=sinθ，则dx=cosθdθ，原积分变为∫sin2θcos2θdθ，再利用三角恒等式sin2θ=1-cos2θ进行进一步化简。分部积分法则适用于被积函数中含有对数函数、反三角函数或指数函数的情况，此时需要熟练运用公式∫udv=uv-∫vdu，并合理选择u和dv。张宇老师特别强调，解题时一定要先观察积分式的特点，再决定是用换元法还是分部积分法，有时甚至需要两种方法结合使用。比如计算∫exsinxdx时，可以先使用分部积分，再用换元法，最终得到结果为(ex/2)(sinx-cosx)+C。

问题二：级数敛散性的判别方法有哪些？如何选择合适的判别法？

级数敛散性的判别是考研高数中的一个重要内容，也是同学们普遍感到棘手的问题。张宇老师指出，判别级数敛散性时，需要根据级数的特点选择合适的判别法。对于正项级数，常用的判别法有比较判别法、比值判别法和根值判别法。比较判别法适用于被积函数有明确表达式的级数，此时需要找到一个已知敛散性的级数进行对比；比值判别法适用于通项中含有阶乘或指数的级数，计算简单但有时会失效；根值判别法则适用于通项中含有幂指函数的级数。对于交错级数，则应该使用莱布尼茨判别法，即检查通项的绝对值单调递减且趋于零。混合级数则需要分别讨论正项和负项的级数。张宇老师建议，解题时可以先观察级数的形式，再决定使用哪种判别法。例如，计算∑(n2)/(n3+1)时，可以与p-级数比较，因为n2/(n3+1)≈n(-1)，当n足够大时，所以级数收敛；而计算∑(n)/(n+1)时，比值判别法显示级数发散。通过大量练习，同学们可以逐渐掌握各种判别法的适用范围和技巧。

问题三：多元函数微分学的应用问题如何解决？

多元函数微分学的应用问题是考研高数中的常见题型，包括求函数的极值、条件极值以及方向导数等。张宇老师强调，解决这类问题的关键在于理解基本概念和掌握解题步骤。对于无条件极值问题，首先要计算一阶偏导数，然后令偏导数为零求出驻点，再计算二阶偏导数，通过判别式判断驻点是否为极值点。对于条件极值问题，则应该使用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，然后求偏导数并令其为零，解出x、y和λ的值。方向导数的计算则需要用到梯度向量和单位向量的点积。张宇老师特别提醒，解题时一定要注意条件，比如求极值时要求函数在驻点处连续可偏导，求条件极值时要求约束条件为等式。例如，求函数f(x,y)=x2+y2在约束条件x+y=1下的极值，可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y-1)，求偏导数后得到方程组，解出驻点(1/2,1/2)，再通过拉格朗日乘数验证其为极小值点。通过大量练习，同学们可以逐渐掌握各类应用问题的解题技巧和注意事项。