考研数学常考题型深度解析：典型例题难点突破

在考研数学的备考过程中，理解典型例题的解题思路和方法至关重要。许多考生在遇到复杂问题时容易陷入思维误区，本文将通过几个常见的例题，深入剖析其中的难点，并提供详细解析，帮助考生掌握核心解题技巧。无论是极限计算、微分方程还是多元积分，这些例题都能让你受益匪浅。

例题1：函数极限的求解技巧

问题：求极限 lim (x→0) [sin(x2) / x (1 cos(x)) / x2]。不少考生在处理这类问题时，容易忽略分子分母的变形技巧，导致计算过程繁琐甚至出错。

解答：我们将分子分母同时进行泰勒展开。由于 sin(x2) ≈ x2 x6/6，而 1 cos(x) ≈ x2/2，代入原式可得：

lim (x→0) [(x2 x6/6) / x (x2/2) / x2] = lim (x→0) [x x5/6 x x/2] = lim (x→0) [x x5/12] = 0。

这里的关键在于，泰勒展开能简化复杂的三角函数极限计算。如果直接用洛必达法则，虽然也能得到答案，但过程更为繁琐。因此，考生在备考时，应根据题型灵活选择方法，提高解题效率。

例题2：微分方程的初值问题

问题：求解微分方程 y' + 2xy = x，且 y(0) = 1。很多同学在分离变量时，容易忽略初始条件的代入，导致通解不完整。

解答：我们用积分因子法解此方程。积分因子为 e(∫2x dx) = e(x2)，将原方程两边乘以积分因子：

dy/dx e(x2) + 2x y e(x2) = x e(x2)，即 d/dx [y e(x2)] = x e(x2)。

两边积分得：y e(x2) = ∫x e(x2) dx = (1/2) e(x2) + C，所以 y = (1/2) + C e(-x2)。

代入初始条件 y(0) = 1，可得 C = 1/2，最终解为 y = (1/2) + (1/2) e(-x2)。注意，有些同学会忽略常数C的确定，导致答案错误。这类问题往往需要回到初始条件中寻找关键信息。

例题3：多元积分的换元技巧

问题：计算二重积分 ?(D) x2 dxdy，其中D是由x+y=1和x-y=1围成的区域。不少考生在换元时，容易忽略雅可比行列式的绝对值。

解答：我们考虑坐标变换。令 u = x+y，v = x-y，则 x = (u+v)/2，y = (u-v)/2，雅可比行列式为 ?(x,y)/?(u,v) = 1/21/2 + -1/21/2 = 1/2。

积分区域D在uv平面上变为矩形[0,2]×[-2,2]，原积分变为：

?(D) [(u+v)/2]2 dxdy = ∫(0 to 2) ∫(-2 to 2) (u+v)2/4 1/2 dudv = 1/8 ∫(0 to 2) ∫(-2 to 2) (u2 + 2uv + v2) dv du。

计算可得结果为 3/4。关键点在于，换元时必须考虑雅可比行列式的绝对值，否则可能导致积分值计算错误。这类问题往往需要考生具备较强的空间想象能力，通过画图确定积分区域。