2016年考研数学2重点难点突破：常见问题深度解析
2016年考研数学2的备考过程中，考生们常常会遇到一些共性的问题，尤其是在高等数学、线性代数和概率论与数理统计部分。这些问题的解决不仅关系到答题的准确率，更直接影响着考生的整体得分。本文将结合历年真题和考生反馈，深入剖析几个高频考点，并提供详尽的解答思路，帮助考生们更好地理解和掌握这些知识点。
问题一：函数的连续性与间断点如何判断？
函数的连续性与间断点是考研数学2中的一个重要考点，很多考生在判断函数的间断点时容易混淆。一般来说，我们需要通过以下步骤来判断：
- 首先检查函数在定义域内的各点是否连续。如果某点不在定义域内，则该点一定是间断点。
- 对于分段函数，需要分别检查各分段的连接点。例如，函数f(x) = x在x=0处虽然左右极限相等，但该点不是连续的，因为绝对值函数在x=0处不可导。
- 对于含有绝对值、根号或三角函数的复合函数，可以通过极限定义来判断。比如，函数g(x) = √(x2-1)在x=±1处存在间断点，因为根号内的表达式在±1处为0。
考生还需要特别注意一些特殊间断点，如无穷间断点、振荡间断点等。通过举几个典型例题，比如f(x) = sin(1/x)在x=0处为振荡间断点，而g(x) = 1/(x-1)在x=1处为无穷间断点，可以帮助考生更好地理解这些概念。记住，判断间断点的关键在于理解函数在各个点的极限行为，以及函数定义域的完整性。
问题二：定积分的计算技巧有哪些？
定积分的计算是考研数学2中的一个难点，很多考生在计算过程中容易出错。以下是一些常用的计算技巧：
- 利用积分区间对称性简化计算。例如，如果积分区间关于原点对称，且被积函数为奇函数，则定积分为0。
- 分部积分法是常用的技巧之一。对于∫u dv，可以通过分部积分公式∫u dv = uv ∫v du来简化计算。
- 换元法也是简化积分的重要手段。比如，对于∫(1/x) dx，可以通过换元t=ln(x)来转化为更简单的积分。
考生还需要掌握一些特殊积分技巧，如三角函数的积分、有理函数的积分等。通过举几个典型例题，比如计算∫(sin(x)/cos2(x)) dx，可以转化为∫sec(x)tan(x) dx，结果为sec(x) + C。再比如，计算∫(x2/(1+x2)) dx，可以通过拆分被积函数为1 1/(1+x2)，分别积分得到x arctan(x) + C。这些技巧的熟练运用，可以大大提高定积分的计算效率。
问题三：线性代数中的矩阵运算如何简化？
线性代数中的矩阵运算是考研数学2的一个重点，很多考生在计算过程中容易出错。以下是一些简化矩阵运算的技巧：
- 利用矩阵的初等行变换简化矩阵运算。通过行变换可以将矩阵化为行阶梯形或行最简形，从而简化计算。
- 对于行列式的计算，可以利用展开定理和行列式的性质，如行和列的线性组合、反对称性等，简化计算过程。
- 在求解线性方程组时，可以通过增广矩阵的行变换来判断方程组的解的情况，如唯一解、无解或无穷多解。
考生还需要掌握一些特殊矩阵的性质，如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵等。通过举几个典型例题，比如计算矩阵A = [[1,2],[3,4]]的逆矩阵，可以通过公式A(-1) = (1/det(A)) 伴随矩阵来计算。再比如，求解线性方程组Ax=b，可以通过行变换将增广矩阵化为行最简形，从而得到方程组的解。这些技巧的熟练运用，可以大大提高矩阵运算的效率。