2017考研数学二第20题深度解析：常见问题与答案详解
2017年考研数学二第20题是一道关于向量空间与线性变换的综合题，涉及向量组的线性相关性、秩的计算以及线性变换的矩阵表示。不少考生在作答时遇到了困难，主要集中在对概念的理解不够深入、计算过程容易出错等方面。本文将结合这些常见问题，给出详细的解答与解析，帮助考生更好地掌握相关知识点。
常见问题与解答
问题1：如何判断向量组的线性相关性？
向量组的线性相关性是考研数学中的重点内容，也是第20题的考察核心。简单来说，若存在不全为零的系数，使得向量组的线性组合为零向量，则该向量组线性相关；否则线性无关。具体到本题，可以通过以下步骤来判断：
- 构造矩阵：将向量组作为矩阵的列向量，形成一个新的矩阵。
- 化简矩阵：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形或行最简形。
- 判断秩：若矩阵的秩小于向量组中向量的个数，则向量组线性相关；否则线性无关。
例如，本题中给出的向量组可以通过构造矩阵并化简，发现其秩小于向量的个数，从而判断出该向量组线性相关。这种方法不仅适用于判断具体向量组的线性相关性，还可以推广到更一般的情况。
问题2：秩的计算过程中容易出错的地方有哪些？
秩的计算是线性代数中的基础操作，但在实际计算中，考生容易犯一些错误。常见的问题包括：
- 初等行变换操作不当：在化简矩阵时，容易混淆行交换、倍乘或倍加操作，导致结果错误。
- 忽略零行的处理：在判断秩时，容易忽略矩阵中零行的存在，从而错误计算秩的值。
- 计算过程中的粗心：在加减乘除等计算中，容易因为疏忽而算错数字，影响最终结果。
为了避免这些错误，考生在计算秩时需要注意以下几点：严格按照初等行变换的规则操作；仔细检查矩阵中的零行，确保不遗漏；养成验算的习惯，减少粗心带来的错误。
问题3：线性变换的矩阵表示如何求解？
线性变换的矩阵表示是考研数学中的另一难点，需要考生对线性变换和矩阵的对应关系有清晰的理解。具体来说，线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤求解：
- 确定基向量：选择合适的基向量，通常选择标准基或题目中给出的基。
- 计算像向量：将基向量通过线性变换，得到对应的像向量。
- 构造矩阵：将像向量作为矩阵的列向量，形成线性变换的矩阵表示。
例如，本题中给出的线性变换可以通过选择基向量，计算其像向量，然后构造矩阵来表示。这种方法不仅适用于具体题目，还可以帮助考生理解线性变换与矩阵之间的内在联系，提高解题能力。