考研数学二答案2024第十三题核心考点深度解析

在2024年考研数学二的试卷中，第十三题以其独特的综合性考察了考生对多元函数微分学的理解与应用能力。这道题目不仅涉及到了偏导数的计算，还结合了极值的判定，是区分不同层次考生的关键题目之一。许多考生在作答时容易陷入计算误区或对概念理解不够深入，导致失分。本文将结合考生的常见疑问，系统梳理解题思路，帮助大家掌握此类题型的应对策略。

常见问题与详细解答

问题1：如何快速确定多元函数的驻点？

在解答第十三题时，不少考生对驻点的判定方法掌握不清。驻点是指函数的所有一阶偏导数同时为零的点。具体来说，我们需要先求出函数f(x,y)对x和y的偏导数，然后解方程组f_x(x,y)=0和f_y(x,y)=0。值得注意的是，驻点不一定是极值点，还需要进一步通过二阶偏导数检验其性质。例如，在题目中给出的函数f(x,y)=x3+y3-3axy，我们得到驻点(1,1)后，需要计算二阶导数矩阵D，若D>0则为极小值点，D<0则为极大值点，D=0则需要用其他方法判定。

问题2：极值第二判别法的应用技巧有哪些？

许多考生在应用极值第二判别法时容易混淆正负符号的判定。关键在于正确计算二阶偏导数构成的Hessian矩阵的特征值。以题目中的函数为例，在点(1,1)处，Hessian矩阵为：

D = [[6-3a, -3a],

[-3a, 6-3a]]

此时需要计算行列式D和a2-4的乘积。当a2<4时，无论a取何值，D>0，此时只需判断a的符号即可确定极值性质。特别地，当a=0时，D的两个特征值均为6，肯定为极小值点。当a=±2时，需要结合一阶偏导数符号进行判定。这种分类讨论的技巧是得分的关键。

问题3：在求解实际应用问题时如何建立数学模型？

第十三题的背景是求解某个几何量或物理量的最值，这要求考生具备将实际问题转化为数学表达的能力。首先需要准确理解题意，确定目标函数和约束条件。例如，若题目要求某区域上的最大面积，则需要建立面积函数并考虑边界条件。在题目中，我们需要将给定的函数表达式代入约束条件x+y=1，通过拉格朗日乘数法求解条件极值。值得注意的是，在写出拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x+y-1)后，要完整求解三个方程的联立方程组，不能遗漏任何变量。很多考生因为漏解而失分，务必引起重视。