18年考研数学二比大小技巧与常见问题解析
在18年考研数学二的考试中，比大小是考生普遍感到头疼的题型之一。这类问题不仅考察了考生对基础概念的掌握程度，还考验了他们的逻辑推理能力。比大小问题往往涉及多个数学对象，如函数、数列、极限等，考生需要灵活运用各种方法进行比较。本文将针对18年考研数学二比大小常见的几个问题进行解析，帮助考生掌握解题技巧，提高答题效率。
常见问题解答
问题一：如何比较两个函数在某一区间内的大小关系？
在18年考研数学二中，比较两个函数在某一区间内的大小关系是一个常见的考点。这类问题通常可以通过以下几种方法来解决：
- 作差法：将两个函数相减，得到一个新的函数，然后分析这个新函数的符号。如果新函数在某一区间内始终大于零，则说明第一个函数大于第二个函数；如果始终小于零，则说明第一个函数小于第二个函数。
- 作商法：将两个函数相除，得到一个新的函数，然后分析这个新函数的符号。如果新函数在某一区间内始终大于1，则说明第一个函数大于第二个函数；如果始终小于1，则说明第一个函数小于第二个函数。
- 导数法：通过求导数来分析函数的单调性，从而判断函数的大小关系。这种方法在处理复杂函数时尤为有效。
例如，比较函数f(x) = x2和g(x) = x在区间[1, 2]内的大小关系。我们可以通过作差法来解决：f(x) g(x) = x2 x = x(x 1)。在区间[1, 2]内，x(x 1)始终大于零，因此f(x) > g(x)。
问题二：如何比较两个数列的极限大小？
比较两个数列的极限大小是18年考研数学二中另一个常见的考点。这类问题通常可以通过以下几种方法来解决：
- 夹逼定理：如果存在一个数列夹在两个数列之间，并且这两个数列的极限相同，那么夹在中间的数列的极限也相同。
- 洛必达法则：如果两个数列的极限都是无穷大或无穷小，可以通过洛必达法则来比较它们的极限大小。
- 比值法：通过比较两个数列的比值，来判断它们的极限大小。
例如，比较数列a_n = (n+1)/(n+2)和b_n = n/(n+1)的极限大小。我们可以通过比值法来解决：lim(n→∞) (a_n / b_n) = lim(n→∞) [(n+1)/(n+2)] / [n/(n+1)] = lim(n→∞) [(n+1)2 / n(n+2)] = 1。因此，a_n和b_n的极限相同。
问题三：如何比较两个根式的大小？
比较两个根式的大小是18年考研数学二中一个较为复杂的考点。这类问题通常可以通过以下几种方法来解决：
- 化同次根式：将两个根式化为同次根式，然后通过比较它们的被开方数来判断大小关系。
- 分子有理化：通过分子有理化来简化根式，然后通过比较它们的值来判断大小关系。
- 对数法：通过取对数来比较根式的大小，这种方法在处理复杂根式时尤为有效。
例如，比较根式√2和√3的大小。我们可以通过化同次根式来解决：√2 = 2(1/2)，√3 = 3(1/2)。由于2 < 3，因此2(1/2) < 3(1/2)，即√2 < √3。