2015年考研数学二微分方程核心考点深度解析

2015年考研数学二的微分方程部分，是考生普遍关注的难点。该部分不仅考察基础概念，更注重综合应用能力。本文将围绕当年真题中的高频问题，结合典型例题，深入剖析解题思路与技巧，帮助考生系统掌握相关知识。

常见问题解答与解析

问题一：如何求解一阶线性微分方程的通解？

一阶线性微分方程通常写成标准形式：y' + p(x)y = q(x)。解决这类问题的关键在于使用积分因子法。计算积分因子μ(x) = e∫p(x)dx，然后两边同乘该因子，将方程变形为(yμ(x))' = q(x)μ(x)。接下来，对右侧积分即可得到通解。例如，对于方程y' 2xy = x，积分因子为e(-x2)，乘以原方程后得到(ye(-x2))' = x，积分得通解为y = (x/2)e(-x2) + C·e(x2)。这种方法的核心在于将非齐次项通过积分因子转化为可积形式。

问题二：齐次微分方程的解题技巧有哪些？

齐次微分方程的一般形式为y' = f(x/y)。解决这类问题最常用的方法是变量代换。令u = x/y，则y = xu，对两边求导得y' = u + x(u')。代入原方程后，转化为关于u的一阶微分方程。例如，对于方程y' = (x+y)/x，令u = x/y，则y = xu，y' = u + x(u')，代入后得到u + x(u') = 1+u，简化为x(u') = 1。分离变量后积分得lnx = u + C，回代u = x/y得通解为lnx = x/y + C。值得注意的是，当方程可写成y/x的形式时，直接使用此方法往往能简化计算过程。

问题三：如何判断微分方程的解是否唯一？

根据存在唯一性定理，一阶微分方程y' = f(x,y)在点(x?,y?)附近的解的唯一性取决于f(x,y)及其偏导数f?、f<0xE1><0xB5><0xA3>在(x?,y?)处的连续性。具体来说，如果f、f?、f<0xE1><0xB5><0xA3>在某个邻域内连续，那么通过初始条件y(x?) = y?的解是唯一的。例如，对于方程y' = x2 + y2，函数f(x,y) = x2 + y2及其偏导数f? = 2x、f<0xE1><0xB5><0xA3> = 2y在整个平面上连续，因此在任意初始条件下解都是唯一的。而如果方程中含有奇点（如y' = 1/y在y=0处），则解的唯一性需要单独讨论，因为导数可能不存在。