杨超考研数学100题重点难点解析与备考策略

杨超考研数学100题作为考研数学备考的经典资料，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心考点。许多考生在刷题过程中会遇到各种各样的问题，比如解题思路卡壳、公式运用混淆、易错点把握不准等。本文精选了3-5个常见问题，结合杨超老师的解题思路和技巧，为考生提供详尽的解答和备考建议，帮助大家高效突破重难点，提升数学成绩。

问题一：定积分的零点个数如何判断？

定积分的零点个数是考研数学中的常见考点，很多考生在判断时容易陷入误区。实际上，判断定积分零点个数的关键在于利用连续函数的零点定理和介值定理。我们需要确定函数在积分区间的连续性，然后考察函数在端点的取值符号。如果函数在端点处异号，则根据零点定理至少存在一个零点。如果函数在区间内存在极值点，还需要结合导数符号变化进一步分析零点分布。

举个例子，假设我们要判断函数f(x)在区间[a,b]上的零点个数。首先计算f(a)和f(b)的符号，如果f(a)·f(b)<0，则至少存在一个零点。接着，求导数f'(x)，找到所有驻点和不可导点，这些点可能是极值点。通过二阶导数或导数符号变化判断极值点的性质（极大值或极小值）。结合端点符号和极值点性质，可以确定零点的具体个数。例如，在区间[-1,2]上，如果f(-1)>0，f(2)<0，且在x=0处有极小值f(0)<0，那么函数在[-1,2]上可能有三个零点，分别在(-1,0)、(0,1)和(1,2)区间内。

问题二：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研数学的重点难点，常见的判别方法包括正项级数比较判别法、比值判别法、根值判别法等。正项级数比较判别法需要找到一个已知收敛或发散的级数作为比较对象，通过比较通项大小来判断。比值判别法适用于通项含有阶乘或指数形式的级数，通过计算极限lima_n+1/a_n来判断收敛性。根值判别法则通过计算极限lima_n^1/n来判别。对于交错级数，则需使用莱布尼茨判别法，即检查通项绝对值单调递减且趋于零。

以p-级数为例，当p>1时，级数∑(n^p)收敛；当p≤1时，级数发散。另一个例子是交错级数∑((-1)ⁿn^-p)，当p>1时，绝对值级数收敛，原级数也收敛；当00时条件收敛；当p≤0时，级数发散。这些判别方法在实际应用中需要灵活组合，比如先用比值判别法初步判断，再通过比较判别法精确确定。

问题三：多元函数极值求解的步骤是什么？

多元函数极值求解是考研数学的必考点，主要分为无条件极值和条件极值两种情况。无条件极值求解步骤如下：计算函数的所有一阶偏导数，令其等于零得到驻点；计算二阶偏导数，构造海森矩阵；根据海森矩阵的符号判断驻点是极大值、极小值还是鞍点。条件极值则需使用拉格朗日乘数法，通过引入拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，将条件极值转化为无条件极值求解。

例如，求函数f(x,y)=x²+2xy+y²在约束条件x+y=1下的极值。首先构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x²+2xy+y²+λ(x+y-1)，然后计算偏导数并令其等于零，得到方程组：2x+2y+λ=0，2x+2y+λ=0，x+y-1=0。解得驻点为(1/2,1/2)，λ=-1。接着计算二阶偏导数，构造海森矩阵H₂=(4 2; 2 4)，其行列式为12>0，且主对角线元素均为正，因此驻点为极小值点。最终极小值为f(1/2,1/2)=1/2。