考研数学基础阶段习题册核心难点突破

考研数学基础阶段习题册是考生夯实数学基础、提升解题能力的关键工具。然而，许多同学在练习过程中会遇到各种各样的问题，比如概念理解不透彻、解题思路卡壳、计算错误频发等。这些问题不仅影响学习效率，还可能打击备考信心。本文精选了5道习题册中的典型问题，结合详细解析和实用技巧，帮助考生扫清障碍，稳步提升数学水平。内容涵盖高等数学、线性代数、概率论等多个模块，解答过程注重逻辑清晰、步骤完整，力求让读者“一看就懂，一学就会”。

问题1：极限计算中如何处理“×∞”型未定式？

很多同学在计算极限时，遇到“×∞”型未定式会感到无从下手。其实，这类问题可以通过“抓大放小”的方法来解决。例如，计算极限lim(x→∞) (x2 + 3x) / (2x2 x)。观察分子和分母的最高次项分别是x2，因此可以将x2提出来作为公因子，得到lim(x→∞) [(x2/x2) + (3x/x2)] / [(2x2/x2) (x/x2)]，简化后变为lim(x→∞) (1 + 3/x) / (2 1/x)。当x→∞时，3/x和1/x都趋近于0，所以最终结果为1/2。还可以利用洛必达法则，对原式求导后再计算，但“抓大放小”的方法更直观高效，适合基础阶段掌握。

问题2：定积分计算中如何选择“换元法”还是“分部积分法”？

不少同学在选择积分方法时犹豫不决。其实，判断标准很简单：如果被积函数含有根式或三角函数，优先考虑“换元法”；如果遇到乘积形式的函数，比如xex或sin(x2)，则“分部积分法”更合适。以计算∫(1 to √2) x√(x2 + 1) dx为例，由于存在根式，直接积分很麻烦，因此令x=sect，dx=sect·tant dt，积分区间变为(0 to π/4)，原式转化为∫(0 to π/4) sect·tant·sect·tant dt，进一步简化为∫(0 to π/4) sec2t·tant2 dt。此时，令u=tant，du=sec2t dt，积分变为∫(0 to 1) u2 du，结果为1/3。相比之下，如果题目是xex积分，用分部积分法会更简单，因为d(ex)=ex dx，便于凑微分。

问题3：级数收敛性判别时如何灵活运用比较法？

级数收敛性是考研数学的重点和难点，比较法是常用技巧。比如判断∑(n=1 to ∞) (n+1)/(n2+2)的收敛性，直接用比值法或根值法可能得到1/∞的模糊结果，这时就需要比较法。观察通项(n+1)/(n2+2)与1/n2的比值，当n→∞时，前者约等于后者，而∑(1/n2)是p=2的收敛级数，因此原级数也收敛。具体操作时，可以放大或缩小通项：若原式≤1/n，则由级数收敛的必要条件（通项趋于0）可知可能收敛；若原式≥1/(2n2)，则因为1/(2n2)的级数收敛，原级数也收敛。这种“放缩”技巧需要多加练习，关键在于找到合适的比较对象。

问题4：线性代数中向量组线性相关性的证明有哪些常见误区？

很多同学在证明向量组线性相关性时，容易陷入误区。比如，误将“存在不全为0的系数使线性组合为0”等同于“向量组线性无关”。正确理解是：若存在全为0的系数，则线性无关；若存在不全为0的系数，则线性相关。以证明向量组{(1,0,1), (2,1,3), (1,1,2)